Cisz és Desz a hegedűn és zongorán

A harmonikus zenei skála hangjai az alábbi rezgésszámmal arányulnak a C-hez képest

Egy zenei félhang, vagyis például az F és E hang aránya 256/243. Az arányszám úgy jön ki, hogy 4/3-ot osztjuk 81/64-del, azaz (4/3) * (64/81) = 256/243

Ugyanez az arányszám jön ki akkor is, ha a B és C arányát számítjuk, 2/(243/128) = 2*128/243 = 256/243-at kapunk.

Számoljuk ki ez alapján a Cisz (fél hang a C felett) rezgésszámát a hegedűn C * 256/243 = C * 1,053498 = Cisz (ez egyébként racionális tört, azaz két egész szám hányadosa) 

A D hang a hegedűn 9/8 * C = C * 1,125 (racionális törtszám ez is)

A Desz a hegedűn (fél hang a D alatt) D / (256/243) = D * 243/256, vagyis Desz = C * 9/8 * 243/256 = C * 1,125 * 0,9492 = C * 1,06787 = Desz (racionális tört)

Amint látható, a Cisz nem egyenlő a Desz-szel a hegedűn, a két hang aránya 1,0136, azaz kb. 1,36% eltérés van közöttük. Kifinomult hallást igényel, hogy a két hang között különbséget tudjunk tenni.

A hegedűtől eltérően a zongorán egyforma a Cisz és a Desz, a zongora hangolása más, mint a hegedűé. És ez minden billentyűre igaz, kivéve az A hangot és annak oktávjait. A fekete billentyűket, pontosabban a billentyű által megszólaltatott húrt úgy hangolják, hogy a fehér billentyűhöz képest C * (12-ik gyök 2) = C * 1,059463… rezgésszámon szóljanak. A hegedűn lefogott Cisz és Desz között (ez egy irracionális szorzószám, ami nem csak matematikai érdekesség, hanem azt is jelenti, hogy nem tud tökéletesen egybecsengeni a két hang) Tehát a zongorán és a legtöbb hangszeren a Cisz = Desz = C * 1,059463 = D / 1,059463

A zongorán az egymás után következő egész hangok aránya megegyezik, a hegedűn nem. Példázul a D a zongorán = C * (12-ik gyök 2) a négyzeten, vagyis 6-ik gyök 2, azaz D = C * 1,122462.., ami nem 9/8, annál kicsit kisebb.

A legtöbb ember azokat a hangokat hallja harmonikusabbnak, tisztábbnak, ahol a rezgésszámok aránya egész számokkal jellemezhető. Ekkor ugyanis néhány rezgés után összecseng a két hang. A fenti példából kitűnik, hogy harmonikus hangokat csak a hegedűn és más vonós hangszeren tudjuk megszólaltatni. Vagy például éneklés közben.